51nod 1244 莫比乌斯函数之和(杜教筛)

forever97 posted @ 2016年10月28日 00:20 in 数学-杜教筛 with tags 杜教筛 , 357 阅读

 

【题目链接】 http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1244

 

【题目大意】

    计算莫比乌斯函数的区段和

 

【题解】

    利用杜教筛:

    求F(n)=(f(i))

    存在g=f*I,定义G(n)=(g(i))

    就可以得到F(n)=G(n)-(F(n/i))

    加一些预处理我们可以做到O(n^(2/3))求解F(n)

    我们知道积性函数∑(miu(d))=0(d|n),又有∑(miu(d))=1(n=1),

    所以∑(miu(d))=1(d|i){i=1}^{n},

    因此我们得到F(n)=1-∑F(n/d){d=2}^{n}

    同时用Hash记忆化miu函数的前缀和

 

【代码】

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int mod=1333331;
typedef long long LL;
LL a,b,miu[5000010];
int p[500010],cnt=0;
bool vis[5000010];
struct HASHMAP{
    int h[mod+10],cnt,nxt[100010];
    LL st[100010],S[100010];
    void push(LL k,LL v){
        int key=k%mod;
        for(int i=h[key];i;i=nxt[i]){
            if(S[i]==k)return;
        }++cnt;nxt[cnt]=h[key];h[key]=cnt;
        S[cnt]=k;st[cnt]=v;
    }
    LL ask(LL k){
        int key=k%mod;
        for(int i=h[key];i;i=nxt[i]){
            if(S[i]==k)return st[i];
        }return -1;
    }
}H;
void Get_Prime(){
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<=5000000;++i){
        if(!vis[i]){p[++cnt]=i;miu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=cnt;++j){
            if(1LL*p[j]*i>5000000)break;
            int ip=i*p[j];
            vis[ip]=true;
            if(i%p[j]==0)break;
            miu[ip]=-miu[i];
        }
    }for(int i=2;i<=5000000;++i)miu[i]+=miu[i-1];
}
LL miu_sum(LL n){
    if(n<=5000000)return miu[n];
    LL tmp=H.ask(n),la,A=1;
    if(tmp!=-1)return tmp;
    for(LL i=2;i<=n;i=la+1){
        LL now=n/i; la=n/now;
        A=A-(la-i+1)*miu_sum(n/i);
    }H.push(n,A);return A;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    Get_Prime();
    printf("%lld\n",miu_sum(b)-miu_sum(a-1));
    return 0;
}

 

   


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